제01강 지수1 2004 폴수학 수1 (상)

지수 법칙 정리 (중학생 눈높이)

1. 곱셈: 지수끼리 더하기!

• "a의 3승 곱하기 a의 4승은 뭘까?"
  • a를 3번 곱하고, 또 a를 4번 곱하는 거잖아? 그럼 총 a를 7번 곱한 거지.
  • 결과는 a의 7승이 돼.
  • 핵심: 곱할 때는 지수끼리 더한다! (단, 밑이 같아야 해!)
• 예시:
  • x의 0.1승 곱하기 x의 -0.3승 = x의 (0.1 + (-0.3))승 = x의 -0.2승
  • 2의 -3승 곱하기 2의 -1승 = 2의 (-3 + (-1))승 = 2의 -4승

2. 나눗셈: 지수끼리 빼기!

• "a의 5승 나누기 a의 2승은 뭘까?"
  • a를 5번 곱한 걸 a를 2번 곱한 걸로 나누는 거잖아? 그럼 a가 3번 남겠지.
  • 결과는 a의 3승이 돼.
  • 핵심: 나눌 때는 지수끼리 뺀다! (앞에서 뒤를 빼는 거야. 단, 밑이 같아야 해!)
• 예시:
  • x의 2분의 1승 나누기 x의 -2분의 3승 = x의 (2분의 1 - (-2분의 3))승 = x의 (2분의 1 + 2분의 3)승 = x의 2승
  • a의 3승 나누기 a의 -5승 = a의 (3 - (-5))승 = a의 (3 + 5)승 = a의 8승

3. 0승: 모든 수의 0승은 1! (단, 0의 0승은 제외)

• "a의 0승은 뭘까?"
  • 나눗셈에서 지수끼리 빼서 0이 되는 경우가 있잖아? 예를 들어 a의 2승 나누기 a의 2승은 1이 되는데, 지수 법칙으로 빼면 a의 (2-2)승 = a의 0승이 되잖아.
  • 그래서 모든 수의 0승은 1이야. (단, 0의 0승은 정의되지 않아.)
• 예시:
  • 5의 0승 = 1
  • (2분의 1 + 3i)의 0승 = 1 (허수도 마찬가지!)

4. 음수 지수: 역수!

• "a의 -1승은 뭘까?"
  • 이건 그냥 a의 역수를 뜻해.
  • 핵심: 지수에 -1이 붙으면 역수!
• 예시:
  • x의 -1승 = 1/x
  • -3분의 1의 -1승 = -3 (역수 취하면 돼!)
• 중요: 지수의 부호만 바뀌면 두 수는 서로 역수 관계야. (곱하면 1이 돼!)

5. 거듭제곱: 지수끼리 곱하기!

• "a의 3승을 제곱하면 뭘까?"
  • a의 3승을 두 번 곱하는 거잖아? (a의 3승) * (a의 3승) = a의 (3+3)승 = a의 6승이 되지.
  • 핵심: 괄호 밖에 지수가 있으면 지수끼리 곱한다!
• 일반화: (a의 m승)의 n승 = a의 (m*n)승
• 예시:
  • (a의 3승)의 4승 = a의 (34)승 = a의 12승*
  • (x의 2분의 1승)의 4승 = x의 (2분의 1 * 4)승 = x의 2승

6. 분수 지수: 거듭제곱근!

• "a의 2분의 1승은 뭘까?"
  • 이건 a의 제곱근을 뜻해. 즉, 루트 a와 같아.
  • 핵심: 분모는 몇 제곱근인지, 분자는 몇 승인지 나타내.
• 일반화: a의 m분의 n승 = m제곱근 a의 n승 (또는 (m제곱근 a)의 n승)
• 예시:
  • 8의 3분의 1승 = 세제곱근 8 = 2
  • 16의 4분의 3승 = 네제곱근 16의 3승 = (2)의 3승 = 8

7. 조심해야 할 예외: 음수와 짝수 지수

• "음수를 짝수번 곱하면 뭐가 될까?"
  • 예를 들어 (-2)의 2승은 4가 되지. 음수가 사라져.
• "음수를 홀수번 곱하면 뭐가 될까?"
  • 예를 들어 (-2)의 3승은 -8이 되지. 음수가 그대로 남아.
• 예외 상황:
  • 밑이 음수이고, 괄호 밖 지수가 분수인데, 그 분모가 짝수일 때!
  • 예: (-8)의 3분의 2승
    • 이런 경우, 그냥 계산하면 복잡해지거나 틀릴 수 있어.
    • 해결 방법: 먼저 음수를 없애고 계산해. 즉, 8의 3분의 2승으로 생각해서 계산하면 돼.
    • 8의 3분의 2승 = (세제곱근 8)의 2승 = 2의 2승 = 4

8. 지수 법칙 활용 연습

• 문제 1: 3의 x승 * 3의 y승 * 3의 z승 = 1 일 때, x + y + z = ?

  • 곱셈이니까 지수끼리 더하면 되지? 3의 (x+y+z)승 = 1.
  • 어떤 수의 0승이 1이니까, x + y + z = 0

• 문제 2: (4/3)의 -3/4승 * (4/3)의 3/4승 = ?

  • 곱셈이니까 지수끼리 더하면 되지? (4/3)의 (-3/4 + 3/4)승 = (4/3)의 0승 = 1

• 문제 3: 8의 2분의 1승과 9의 3분의 1승의 대소 비교

  • 지수를 통일해야 비교하기 쉬워. 2와 3의 최소공배수는 6이니까, 6분의 1승으로 만들어 보자.
  • 8의 2분의 1승 = 8의 6분의 3승 = (8의 3승)의 6분의 1승 = 512의 6분의 1승
  • 9의 3분의 1승 = 9의 6분의 2승 = (9의 2승)의 6분의 1승 = 81의 6분의 1승
  • 밑이 클수록 값이 크니까, 8의 2분의 1승이 더 커.

• 문제 4: (-2)의 2분의 2승 = ?

  • 밑이 음수이고 지수가 분수인데, 분모가 짝수야. 예외 상황이지!
  • 음수를 없애고 계산하자. 2의 2분의 2승 = 2의 1승 = 2

• 문제 5: (-5)의 -2승 = ?

  • 음수 지수는 역수라고 했지? (-5)의 -2승 = 1 / (-5)의 2승
  • (-5)의 2승은 25니까, 1/25가 돼.
  • 다른 방법: (-5)의 -2승 = ((-5)의 2승)의 -1승 = 25의 -1승 = 1/25