[쉽게 이해하는] 하트만-그롭만 정리와 선형화 안정성 완벽 해설!

하트만-그로브만 정리: 비선형 시스템을 선형 시스템으로 근사할 수 있을까?

우리가 배우고 있는 미분방정식 중에는 $x$에 대한 $x$의 변화율($x$ dot)이 $x$의 함수($f(x)$)로 표현되는 비선형 시스템이 있어. 이런 시스템은 복잡해서 다루기 어려울 때가 많지.

하지만 다행히도, 고정점(fixed point) 근처에서는 이런 복잡한 비선형 시스템을 선형 시스템으로 근사할 수 있다는 사실을 알게 되었어. 고정점은 시스템의 변화율이 0이 되는 지점을 말해. 즉, $f(x_{bar}) = 0$이 되는 $x_{bar}$ 같은 점이지.

이때, 비선형 시스템을 선형 시스템으로 근사하는 데 핵심적인 역할을 하는 것이 바로 하트만-그로브만 정리(Hartman-Grobman Theorem)야. 이 정리는 언제 비선형 시스템을 선형 시스템으로 근사할 수 있는지, 그리고 그 근사가 얼마나 믿을 만한지에 대한 중요한 정보를 제공해.

하트만-그로브만 정리가 말하는 것

이 정리는 아주 간단하게 말하면 이래:

만약 비선형 시스템의 고정점에서, 그 고정점을 선형화했을 때 나오는 행렬(야코비 행렬)의 모든 고유값(eigenvalue)의 실수 부분이 0이 아니라면, 그 고정점 근처에서는 비선형 시스템의 움직임이 선형 시스템의 움직임과 매우 비슷하게 된다!

여기서 중요한 용어가 몇 가지 나왔지?

• 고정점 (Fixed Point): 시스템의 변화율이 0이 되는 지점. 마치 지도에서 특정 위치를 찍어놓은 것과 같아.
• 선형화 (Linearization): 복잡한 비선형 함수를 고정점 근처에서 간단한 선형 함수로 바꾸는 것. 마치 복잡한 지형을 지도에서 직선으로 표현하는 것과 비슷해.
• 야코비 행렬 (Jacobian Matrix): 비선형 시스템을 선형화했을 때 나오는 행렬이야. 각 변수에 대한 다른 변수들의 편미분 값으로 이루어져 있지.
• 고유값 (Eigenvalue): 행렬이 어떤 벡터에 작용했을 때, 그 벡터의 방향은 그대로 유지하면서 크기만 변하는 비율을 나타내는 값이야.
• 실수 부분이 0이 아니다 (Non-zero Real Part): 고유값이 복소수일 때, 허수 부분이 아닌 실수 부분이 0이 아니라는 뜻이야. 이게 왜 중요하냐면, 실수 부분이 양수면 멀어지고, 음수면 가까워지는 방향을 나타내기 때문이지.

왜 "하이퍼볼릭" 고정점이라고 부를까?

고유값의 실수 부분이 0이 아닌 고정점을 하이퍼볼릭 고정점(Hyperbolic Fixed Point)이라고 불러. 이건 마치 쌍곡선처럼, 어떤 방향으로는 멀어지고(불안정), 어떤 방향으로는 가까워지는(안정) 특징을 가지기 때문이야.

예를 들어, 2차원 시스템에서 고정점이 있다고 상상해봐.

• 안정적인 방향 (Stable Direction): 이 방향으로 움직이면 고정점으로 점점 가까워져. 마치 강물이 바다로 흘러가는 것처럼.
• 불안정한 방향 (Unstable Direction): 이 방향으로 움직이면 고정점에서 점점 멀어져. 마치 로켓이 발사되는 것처럼.

만약 고정점에서 모든 고유값의 실수 부분이 0이 아니라면, 이런 안정적인 방향과 불안정한 방향이 명확하게 존재하게 돼. 그래서 "하이퍼볼릭"이라고 부르는 거지.

하트만-그로브만 정리의 의미

하트만-그로브만 정리가 왜 중요하냐면, 하이퍼볼릭 고정점 근처에서는 비선형 시스템의 "구조"가 선형 시스템의 구조와 거의 똑같다는 것을 보장해주기 때문이야.

• 구조적 안정성 (Structural Stability): 비선형 시스템에 아주 작은 변화(예: 원래 없던 아주 작은 비선형 항 추가)가 생겨도, 고정점 근처의 움직임 패턴(안정/불안정 방향 등)이 크게 변하지 않는 성질을 말해.
• 안정/불안정 다양체 (Stable/Unstable Manifold): 고정점으로 수렴하거나 고정점에서 발산하는 궤적들이 모여서 만드는 곡면이나 곡선 같은 것을 말해. 하트만-그로브만 정리는 이런 다양체들이 선형화했을 때 나오는 "부분 공간(subspace)"과 거의 같은 모양을 가진다는 것을 알려줘.

즉, 하트만-그로브만 정리는 우리가 비선형 시스템을 선형 시스템으로 근사하는 것이 정당하다는 것을 이론적으로 뒷받침해주는 거야. 비록 실제 비선형 시스템의 궤적이 약간 휘어져 있을 수는 있지만, 고정점 근처에서는 선형 시스템이 보여주는 기본적인 움직임 패턴을 그대로 따라간다는 거지.

언제는 안 될까? (센터 고정점)

하지만 이 정리가 항상 적용되는 건 아니야. 만약 고유값의 실수 부분이 0인 센터 고정점(Center Fixed Point)의 경우에는 이야기가 달라져.

센터 고정점은 선형화했을 때 마치 동심원처럼 빙글빙글 도는 움직임을 보여줘. 그런데 여기에 아주 작은 비선형 항이 추가되면, 이 동심원 궤적이 갑자기 안정적인 소용돌이가 되거나 불안정한 소용돌이가 될 수도 있어. 즉, 센터 고정점은 구조적으로 불안정해서, 아주 작은 변화에도 시스템의 움직임이 완전히 달라질 수 있지.

하트만-그로브만 정리는 이런 센터 고정점이나 다른 비하이퍼볼릭 고정점에서는 적용되지 않아. 그래서 이런 경우에는 비선형 시스템이 선형화된 시스템과 전혀 다르게 움직일 수도 있다는 점을 기억해야 해.

요약하자면

• 비선형 시스템을 고정점 근처에서 선형 시스템으로 근사할 수 있어.
• 하트만-그로브만 정리는 하이퍼볼릭 고정점 (고유값의 실수 부분이 0이 아닌 고정점) 근처에서 비선형 시스템의 움직임이 선형 시스템의 움직임과 구조적으로 매우 비슷하다는 것을 보장해줘.
• 이는 비선형 시스템을 이해하는 데 중요한 이론적 기반이 돼.
• 하지만 센터 고정점과 같이 고유값의 실수 부분이 0인 경우에는 이 정리가 적용되지 않으며, 시스템이 구조적으로 불안정할 수 있어.

이 정리는 동적 시스템 이론에서 정말 중요한 개념이고, 우리가 복잡한 비선형 시스템을 다룰 때 어떻게 접근해야 할지에 대한 큰 힌트를 준단다!