AI 경제분석 4-2: 한국 경제 시크릿, AI로 파헤쳐 당신의 투자 기회 찾아라!

캐스콘스 모델 2번 방식으로 풀기 (중학생 눈높이 설명)

이번 시간에는 지난 시간에 이어서 캐스콘스 모델을 두 번째 방법으로 풀어볼 거야. 지난 시간에 구했던 중요한 식을 이번 방법으로도 똑같이 얻을 수 있다는 걸 보여줄게.

지난 시간 복습:

지난 시간에는 이런 식을 얻었었지?

$$ \frac{\partial V_{kt}}{\partial k_t} = \frac{\partial k_t}{\partial k_t} = \beta \frac{\partial V_{k_{t+1}}}{\partial k_{t+1}} + 1 $$

이 식을 이번 방법으로도 똑같이 얻을 수 있다는 걸 보여줄 거야.

핵심은 '상태 변수'의 변화!

두 번째 방법에서는 '상태 변수'가 바뀌는 게 제일 중요해. 이걸 꼭 기억하면서 어떻게 풀이가 달라지는지 잘 봐봐.

밸류 펑션 다시 보기

먼저, 캐스콘스 모델의 밸류 펑션은 이렇게 생겼어.

$$ V_{kt} = \sum_{ct} \frac{c_t^{1-\gamma}}{1-\gamma} + \beta V_{k_{t+1}} $$

여기서 $c_t$는 우리가 조절하는 것 (컨트롤 변수)이고, $k_t$는 현재 상황을 나타내는 것 (상태 변수)이야.

두 번째 방법: 제약식 바꾸기

두 번째 방법에서는 제약식을 바꿔서, 밸류 펑션에 있는 $c_t$를 없애버릴 거야.

원래 제약식은 이렇게 생겼어:

$$ k_{t+1} = k_t^\alpha - c_t + (1-\delta)k_t $$

이 식을 $c_t$에 대해 정리하면 이렇게 돼:

$$ c_t = k_t^\alpha + (1-\delta)k_t - k_{t+1} $$

이걸 보면 알 수 있듯이, $c_t$를 정하는 건 $k_{t+1}$을 정하는 거랑 똑같아져. 왜냐하면 둘이 제약식으로 바로 연결되어 있거든.

이제 이 바뀐 제약식을 밸류 펑션에 넣으면 $c_t$가 사라지고, $k_{t+1}$이 새로운 컨트롤 변수가 돼! 이게 제일 중요한 포인트야.

바뀐 밸류 펑션은 이렇게 돼:

$$ V_{kt} = \max_{k_{t+1}} \left[ \frac{(k_t^\alpha + (1-\delta)k_t - k_{t+1})^{1-\gamma}}{1-\gamma} + \beta V_{k_{t+1}} \right] $$

최댓값(맥시멈) 없애기: 미분하기!

이제 최댓값을 없애려면, $k_{t+1}$로 미분해서 0이 되는 지점을 찾아야 해.

$$ \frac{\partial}{\partial k_{t+1}} \left[ \frac{(k_t^\alpha + (1-\delta)k_t - k_{t+1})^{1-\gamma}}{1-\gamma} + \beta V_{k_{t+1}} \right] = 0 $$

이걸 계산하면 이런 식이 나와. (계산 과정은 좀 복잡해서 생략할게!)

$$ (k_t^\alpha + (1-\delta)k_t - k_{t+1})^{-\gamma} \cdot (-1) + \beta \frac{\partial V_{k_{t+1}}}{\partial k_{t+1}} = 0 $$

더 간단하게 만들기: FOC (최적 조건)

이 식을 더 간단하게 만들 수 있어. 아까 우리가 바꾼 제약식에서 $c_t = k_t^\alpha + (1-\delta)k_t - k_{t+1}$ 이었지? 이걸 이용하면 위 식은 이렇게 바뀌어:

$$ c_t^{-\gamma} \cdot (-1) + \beta \frac{\partial V_{k_{t+1}}}{\partial k_{t+1}} = 0 $$

이게 바로 FOC (First Order Condition, 최적 조건)이야. 이 식은 지난 시간에 구했던 FOC랑 똑같이 생겼어!

$$ -c_t^{-\gamma} + \beta \frac{\partial V_{k_{t+1}}}{\partial k_{t+1}} = 0 $$

주의할 점: $c_t$가 다시 등장?

이 간단해진 FOC를 보면 $c_t$가 다시 등장해서 좀 이상하게 느껴질 수 있어. 컨트롤 변수가 $k_{t+1}$로 바뀌었는데 왜 $c_t$가 나오냐고 말이야.

이건 FOC를 더 쉽게 쓰기 위해 우리가 바꾼 제약식을 다시 이용했기 때문이야. 하지만 중요한 건, 이 FOC를 통해 $k_{t+1}$이 $k_t$의 함수라는 걸 알 수 있다는 거야. 즉, $k_{t+1} = k_{t+1}(k_t)$ 라는 거지.

밸류 펑션에 최적 조건 적용하기

이제 이 FOC를 이용해서 밸류 펑션에서 최댓값(맥시멈)을 없애보자.

$$ V_{kt} = \frac{(k_t^\alpha + (1-\delta)k_t - k_{t+1}(k_t))^{1-\gamma}}{1-\gamma} + \beta V_{k_{t+1}}(k_t) $$

이제 이 식을 $k_t$로 미분해서 '엔벨롭 정리'를 적용하면, 지난 시간과 똑같은 중요한 식을 얻을 수 있어!

$$ \frac{\partial V_{kt}}{\partial k_t} = \beta \frac{\partial V_{k_{t+1}}}{\partial k_{t+1}} + 1 $$

결론

두 번째 방법으로도 첫 번째 방법과 똑같은 중요한 식을 얻을 수 있다는 걸 보여줬어. 핵심은 제약식을 바꿔서 컨트롤 변수를 $k_{t+1}$으로 바꾸는 거였지.

다음 시간에는 캐스콘스 모델의 '정상 상태'에 대해 알아볼 거야!