몬티홀 문제, 문이 100개면 선택을 바꿔야 할까? 깨봉수학 풀이!

몬티 홀 문제, 쉽게 풀어보자!

너희들이 몬티 홀 문제에 대해 궁금해하는 것 같아서 오늘 확실하게 알려줄게! 크게 두 가지 질문이 있었어.

1. 문이 4개인데, 3번과 4번 문이 열렸을 때 2번 문을 선택하는 게 유리할까?
2. 문이 100개인데 98개가 열리고, 만약 문이 무한대로 많다면 어떻게 될까?

문 4개, 3번과 4번이 열렸다면?

처음에는 문 4개에 차가 있을 확률이 똑같이 1/4씩이야.

• 내가 1번 문을 선택했다고 가정해보자.
• 만약 4번 문이 열렸다면? 이건 아무런 영향을 주지 않아. 여전히 1번 문에 차가 있을 확률은 1/4 그대로야.
• 그럼 2번과 3번 문에 차가 있을 확률은? 원래 3/4이었는데, 4번 문이 열렸다는 정보 때문에 2번과 3번 문으로 확률이 나눠져야 해. 그래서 각각 3/8씩 가지게 되는 거지.
• 이제 3번 문이 열렸다고 해보자. 그러면 3번 문에 있던 확률(3/8)이 전부 2번 문으로 옮겨가게 돼. 1번 문은 그대로 1/4이고.
• 결과적으로 어떻게 되냐면, 1번 문은 1/4, 2번 문은 3/4의 확률을 가지게 돼.

이걸 '확률 뇌물'이라는 걸로 생각하면 더 쉬워!

• 처음에는 1, 2, 3, 4번 문에 각각 1/4씩 확률이 있다고 생각해봐.
• 4번 문이 열렸다는 건, 이제 4번 문은 볼 필요가 없다는 뜻이야. 그럼 나머지 1, 2, 3번 문에 확률이 다시 1씩 나눠져야 해. (1/3씩)
• 근데 여기서 3번 문이 열렸다고 하면, 3번 문에 있던 확률이 2번 문으로 다 가는 거야. 1번 문은 그대로고.
• 결국 1번 문은 1/4, 2번 문은 3/4이 되는 거지. 그러니까 2번 문으로 바꾸는 게 훨씬 유리해!

문 100개, 98개 열렸다면?

이것도 똑같아.

• 처음에는 100개의 문에 각각 1/100씩 확률이 있어.
• 내가 1번 문을 선택했다고 해보자.
• 만약 100개의 문 중에 98개가 열렸다면? 열리지 않은 문은 딱 2개 남았겠지? (내가 선택한 1번 문과 다른 하나)
• 내가 선택한 1번 문에는 차가 없을 확률이 그대로 1/100이야.
• 나머지 열리지 않은 문 하나에 차가 있을 확률은 99/100이 되는 거지.

결론적으로, 문이 많이 열릴수록 열리지 않은 다른 문으로 확률이 몰리게 돼.

문이 무한대로 많다면?

이건 좀 더 신기해.

• 문이 무한대로 많다는 건, 처음에는 각 문에 차가 있을 확률이 거의 0에 가깝다는 뜻이야. (무한대 분의 1)
• 내가 1번 문을 선택하고, 나머지 무한대의 문들이 다 열렸다고 해보자.
• 그러면 1번 문에 차가 있을 확률은 여전히 거의 0에 가깝고, 딱 하나 남은 열리지 않은 문에 차가 있을 확률은 거의 1에 가까워져.

결국 문이 무한대로 많아도, 내가 선택한 문을 바꾸는 게 훨씬 유리하다는 거야!

핵심은 '조건부 확률'

이 문제의 핵심은 확률이 계속 변한다는 거야. 처음에는 다 똑같아 보이지만, 새로운 정보(문이 열리는 것)가 생기면서 확률이 재분배되는 거지. 이걸 '조건부 확률'이라고 하는데, 대학교 가면 더 자세히 배우게 될 거야.

이런 원리를 이용해서 몬티 홀 문제 같은 것들을 푸는 건데, 이게 나중에 인공지능 같은 분야에서도 아주 중요한 개념이 된대!

오늘 배운 내용, 어렵지 않지? 앞으로도 궁금한 거 있으면 언제든지 물어봐!