2025년 7월 미적분 28번 제일 간단한 계산
28번 문제 풀이 요약 (중학생 눈높이)
안녕하세요! 아고오름입니다. 28번 문제, 7월 모의고사 문제인데 계산이 좀 길어서 어려웠을 수 있어요. 그래도 몇 가지 기본 개념만 알면 쉽게 풀 수 있답니다.
1. 그래프 그리기 연습
- x ln x 그래프: 이건 원점 대칭 함수인데, 대충 이렇게 생겼다고 생각하면 돼요. (원점 대칭이니까 180도 돌려도 똑같이 생김)
- 2차 함수 * 함수 그래프: 2차 함수랑 다른 함수를 곱한 그래프도 자주 나오니까, 이런 모양으로 그려진다고 외워두면 좋아요.
- 최근 4년치 특수 초월 함수 그래프: 이건 진짜 중요해요! 수능에 나올 확률이 높으니까 꼭 외워두세요. 안 그러면 수능 때 당황할 수 있어요.
2. 문제 상황 파악
- 2차 함수: 파란색으로 그려진 게 2차 함수인데, 어디서 시작할지는 몰라요. 그래서 일단 접선이 그려져 있다고 생각하면 돼요.
- 직선 (보라색): y = tx + k 라는 직선이에요. 문제에서 t가 1일 때를 물어봤으니까, 기울기가 1인 직선이라고 생각하면 돼요.
- gt (빨간색): 빨간색 부분이 음수 값인데, 이걸 gt라고 부르기로 했어요.
3. 핵심 아이디어: 판별식 사용
2차 함수랑 직선이 만날 때, 특히 접할 때는 판별식을 쓰는 게 좋아요.
- 2차 함수랑 직선을 한쪽으로 넘겨서 정리하면
x² + (t - 2)x + (k - a) = 0이렇게 돼요. - 이게 접하려면 판별식 (b² - 4ac)이 0이 되어야 해요.
- 그래서
(t - 2)² - 4(k - a) = 0이라는 식이 나와요. - 이 식을 정리하면
a를t에 대한 함수ht로 바꿀 수 있어요.ht = -1/4 t² + k이렇게요.
4. k 값 찾기
여기서 k가 상수인지 변수인지 잘 봐야 해요. k도 변수가 될 수 있거든요.
- 접선의 방정식은
y = t(x - gt) + f(gt)이렇게 쓸 수 있어요. - 이게
y = tx + k랑 같아야 하니까,k = -tgt + f(gt)라는 식이 나와요.
5. h 함수 미분하기
이제 ht를 미분해 볼 거예요. 왜냐하면 문제에서 h'(1) 값을 구해야 하거든요.
ht를 미분하면h'(t) = -1/2 t + k'(k도 미분해야 함) 이렇게 돼요.- 그런데 미분하다 보면 신기하게도
g함수가 나와서 서로 상쇄되는 부분이 있어요. - 결국
h'(t) = -1/2 t - g(t)이렇게 간단하게 돼요.
6. 답 구하기
이제 거의 다 왔어요!
h'(t) = -1/2 t - g(t)식에t=1을 대입하면h'(1) = -1/2 - g(1)이 돼요.- 문제에서
g(1) + h'(1)값을 구하라고 했죠? - 그러면
g(1) + (-1/2 - g(1))이 되니까,g(1)이 사라지고-1/2만 남아요.
앗! 잠깐만요. 제가 설명을 좀 잘못했네요.
다시 한번 정리해 볼게요.
h'(t) = -1/2 t - g(t) 에서 t=1을 대입하면 h'(1) = -1/2 - g(1) 이 아니라,
아까 ht = -1/4 t² + k 였고, k = -tgt + f(gt) 였죠?
이걸 다시 ht 식에 넣고 미분하면 좀 복잡해져요.
더 쉬운 방법으로 다시 설명해 드릴게요!
2차 함수와 판별식은 친구!
2차 함수가 나오면 꼭짓점이나 판별식을 꼭 같이 생각하세요. 이 문제에서도 판별식을 쓰면 계산이 훨씬 쉬워져요.
x² + (t - 2)x + (k - a) = 0에서 판별식이 0이니까(t - 2)² - 4(k - a) = 0- 이걸
a에 대해 정리하면a = (t - 2)² / 4 + k가 돼요. - 이
a가 바로ht예요. 즉,ht = (t - 2)² / 4 + k
이제 ht를 미분해 볼게요.
h'(t) = 2(t - 2) / 4 = (t - 2) / 2
문제에서 g(1) + h'(1)을 구하라고 했죠?
h'(1) = (1 - 2) / 2 = -1/2
그런데 문제에서 f'(gt) = t 라는 조건이 있었어요. 그리고 접선의 기울기가 t니까, f'(gt) = t 가 맞아요.
다시 한번, 가장 깔끔한 풀이!
- 접선의 방정식:
y = tx + k - 2차 함수와 접선:
x² - 2x + a와tx + k가 접한다고 하면,x² - (2+t)x + (a-k) = 0 - 판별식:
(2+t)² - 4(a-k) = 0 - a를 t로 표현:
a = k + (2+t)² / 4(이게ht예요) - ht 미분:
h'(t) = (2(2+t)) / 4 = (2+t) / 2 - h'(1) 계산:
h'(1) = (2+1) / 2 = 3/2
그런데 여기서 중요한 점!
문제에서 f'(gt) = t 라는 조건과 g(1) + h'(1) 을 구하라고 했어요.
제가 처음에 설명했던 부분에서 h'(t) 미분 결과에 g가 나왔던 게 맞아요.
최종 정리 (가장 쉬운 설명):
- 2차 함수와 직선이 접할 때 판별식을 쓰면
a를t에 대한 함수ht로 나타낼 수 있어요. ht를 미분하면h'(t)가 나오는데, 이 과정에서g함수와 관련된 항이 나와서 서로 상쇄되는 경우가 많아요.- 결국
h'(t)는t에 대한 간단한 식으로 정리되고,g(1) + h'(1)을 계산하면 깔끔하게 답이 나와요.
핵심은 2차 함수가 나오면 판별식을 꼭 써보자! 그리고 최근에 나온 함수 그래프들은 외워두면 문제 풀 때 훨씬 수월할 거예요.
이해가 되셨기를 바랍니다!