리미트 안에 리미트? 극한 연속성, 미분 가능성 한번에 끝내는 비법!

극한으로 정의된 함수, 헷갈리지 않게 풀자!

함수가 극한으로 정의되어 있을 때, 연속성이나 미분 가능성을 먼저 따지려고 하면 오히려 헷갈려서 문제를 잘못 풀 수도 있어. 이건 정말 중요한 이야기야!

예를 들어, gx라는 함수가 t가 x에 가까워질 때 ft의 극한으로 정의되어 있다고 해보자.

gx = lim (t→x) ft

이때 x=a에서 gx의 연속성을 알고 싶다고 하면, 너희 입장에서는 극한 기호 안에 또 극한 기호가 들어가는 것처럼 보일 거야.

gx = lim (t→x) ft

여기에 만약 우극한, 좌극한까지 붙으면 더 복잡해 보이지?

lim (t→x⁺) ft 또는 lim (t→x⁻) ft

이런 거 보면 "이게 뭐 하라는 거야?" 싶을 거야. 헷갈리지?

이럴 때는 이렇게 생각하면 쉬워!

"여기 플러스(+)인데 여기 마이너스(-)네? 그럼 t는 a보다 클까, 작을까?"

정답은 크다야! 왜냐하면 x가 이미 a보다 큰 상태에서 t가 x에 가까워지는 거거든.

이 규칙을 꼭 기억해!

1. a가 먼저 정해져.
2. a에 따라 x가 결정돼.
3. x에 따라 다시 t가 결정되는 구조야.

그러니까, a보다 x가 크다는 걸 먼저 파악하고, x를 결정하는 거야. 이미 x가 큰 쪽으로 갔으니까, t는 x보다 큰 쪽에서만 가까워지겠지.

결론적으로, t는 x보다 크다고 생각하면 돼!