AI로 한국 경제 꿰뚫기! 💰 캐스-쿤스 모델 완전 분석 (4-1강)

캐스 쿠맨스 모델: 경제를 분석하는 똑똑한 방법 (중학생 눈높이 설명)

이번 시간에는 경제 발전론에서 아주 중요한 캐스 쿠맨스 모델에 대해 알아볼 거야. 이건 마치 경제를 분석하는 멋진 도구 같은 거지. 그리고 이 모델은 벨만 방정식이라는 걸로도 풀 수 있는데, 이건 복잡한 문제를 더 쉽게 풀어주는 마법 같은 방정식이라고 생각하면 돼.

지난 시간에 배웠던 문제 풀이 방법이랑 이번 시간에 배울 캐스 쿠맨스 모델이랑 어떻게 다른지도 자세히 알려줄게!

캐스 쿠맨스 모델, 기본 구조는?

캐스 쿠맨스 모델도 결국 제약이 있는 상황에서 가장 좋은 걸 선택하는 문제야. 마치 용돈이 정해져 있는데, 그 안에서 과자도 사고, 게임도 하고, 저축도 하면서 가장 만족스러운 소비를 하는 것처럼 말이지.

• 목적 함수 (내가 뭘 최대화하고 싶을까?):

  • 우리는 CRRA 유틸리티 함수라는 걸 사용해. 이건 소비를 할수록 만족도가 올라가는데, 점점 만족도가 늘어나는 정도가 줄어드는 걸 나타내는 함수야. (처음 과자 하나 먹을 때랑, 열 개째 먹을 때랑 행복도가 다르잖아?)
  • 우리의 목표는 지금 당장의 만족도랑 앞으로 얻게 될 만족도를 합친 걸 최대한 크게 만드는 거야.
  • 미래에 소비할 것들의 현재 가치를 계산할 때는 할인율(베타)을 곱해줘. 미래는 현재보다 가치가 떨어지니까 말이야.

• 제약 조건 (내가 할 수 있는 범위는?):

  • 이 모델에서는 자본(K)이 아주 중요해. 자본은 마치 공장이나 기계처럼 생산을 할 수 있게 도와주는 거야.

  • KT+1 = KT의 알파승 - CT + 1 - 델타 * KT

    • KT+1: 내일의 자본량
    • KT의 알파승: 오늘 가지고 있는 자본(KT)으로 생산할 수 있는 양이야. 이건 코브-더글라스 함수라는 걸 간단하게 만든 거야.
    • CT: 오늘 소비하는 양
    • 1 - 델타 * KT: 오늘 자본을 생산에 사용하고 나면 닳거나 없어지는 부분이 있어. 이걸 감가상각(델타)이라고 하는데, 그 남은 자본량을 나타내.

  • 이 식은 자본의 운동 법칙이라고도 불려. 쉽게 말해, 오늘 자본을 얼마나 가지고 있고, 얼마나 생산하고, 얼마나 소비하고, 얼마나 닳았는지에 따라 내일의 자본량이 결정된다는 뜻이야.

벨만 방정식으로 문제 풀기

캐스 쿠맨스 모델도 벨만 방정식을 쓰면 더 쉽게 풀 수 있어. 벨만 방정식은 복잡한 문제를 두 시점의 문제로 나눠서 푸는 방법이야.

• 밸류 펑션 (가치 함수):

  • V(KT) = max [CT + 베타 * V(KT+1)]
    • 이건 "오늘 자본(KT)을 가지고 있을 때, 최적의 소비(CT)를 선택해서 얻을 수 있는 최대의 가치"를 나타내.
    • CT: 오늘 소비하는 양 (이걸 우리가 결정해야 해. 컨트롤 변수라고 불러.)
    • KT: 오늘 가지고 있는 자본량 (이건 이미 정해져 있어. 스테이트 변수라고 불러.)
    • V(KT+1): 내일의 자본량(KT+1)으로 얻을 수 있는 최대의 가치.

• 케이크 먹기 모형과의 비교:

  • 지난 시간에 케이크 먹기 모형을 배웠잖아? 그때 케이크 크기(XT) 대신 이제는 자본(KT)이 있고, 자본을 이용해서 생산하고, 감가상각까지 고려하는 식으로 제약 조건이 좀 더 현실적으로 바뀐 거라고 생각하면 돼.

벨만 방정식 풀이 과정 (1번 방식)

이제 벨만 방정식과 제약 조건을 합쳐서 풀어보자. 지난 시간에 배운 1번 방식을 사용할 거야. 이 방식은 컨트롤 변수와 스테이트 변수가 그대로 유지되는 방식이야.

1. 밸류 펑션과 제약식 결합:

   • V(KT) = max [CT + 베타 * V(KT의 알파승 - CT + 1 - 델타 * KT)]
   • 여기서 CT는 우리가 결정해야 하는 컨트롤 변수고, KT는 이미 정해진 스테이트 변수야.

2. 'max' 없애기:

   • 'max'를 없애려면, 밸류 펑션에서 컨트롤 변수인 CT로 미분을 해서 0이 되는 값을 찾아야 해. 이걸 FOC (최적화 조건)라고 불러.
   • CT로 미분하면 복잡한 식이 나오는데, 이걸 제약 조건으로 간단하게 만들 수 있어.
   • 결국 CT의 -감마승 + 베타 * (내일의 밸류 펑션 미분값) * (-1) = 0 이라는 식이 나와. (여기서 감마는 소비의 민감도를 나타내는 숫자야.)

3. FOC를 만족하는 최적의 소비(CT) 찾기:

   • 이 FOC를 항상 만족시키는 최적의 소비(CT)를 찾으면, 'max'라는 기호가 사라져. 왜냐하면 이미 최댓값을 찾는 방법을 알았기 때문이지.

4. 양변을 스테이트 변수(KT)로 미분:

   • 이제 'max'가 사라졌으니, 밸류 펑션의 양변을 스테이트 변수인 KT로 미분할 수 있어.
   • 이때 CT는 이제 KT의 함수가 된 거야. (최적의 소비가 KT에 따라 달라지니까!) 그래서 CT(KT)라고 써줘야 해.
   • 미분할 때 연쇄 법칙을 사용해야 해서 좀 복잡해. 하지만 제약 조건을 잘 활용하면 식을 간단하게 만들 수 있어.

5. 미분 결과 정리:

   • 양변을 미분한 결과를 같다고 놓으면 복잡한 식이 나오는데, 여기서 FOC를 만족시키는 부분(초록색 부분)은 0이 되기 때문에 사라져.
   • 결국 (오늘의 밸류 펑션 미분값) = 베타 * (내일의 밸류 펑션 미분값) * (생산량 미분값 + 감가상각) 이라는 간단한 식이 남게 돼.

이 남은 식을 다음 시간에 2번 방식으로 풀어서 비교해 볼 거야! 캐스 쿠맨스 모델, 어렵지만 경제를 이해하는 데 정말 큰 도움이 될 거야!